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04. Suche nach Lösung der Paradoxie
04.1 Die Paradoxie noch einmal neu formuliert:
Newtons Paradoxie (oder die Paradoxie der Differentialrechnung) ist hier noch einmal etwas anders, und zwar mit Hilfe der Sinusfunktion dargestellt.
Einerseits scheint das Verfahren rein logisch widersprüchlich zu sein, was Berkeley ausdrücklich betont. Andererseits ist das Verfahren rein pragmatisch
völlig korrekt. Auch das anerkennt Berkeley.
Es ist beispielsweise der Quotient (sin ∆x)/∆x für kleine ∆x (fast) 1. [Also salopp geschrieben: (sin 0,...1°)/0,...1 =
0,00...1 / 0,00...1 ~ 1 ]. Und nichts hält den Prozess „der Einswerdung“ auf, wenn man ∆x=1/10n systematisch immer kleiner nimmt, wenn ∆x also gegen 0 geht. Jedoch andererseits muß sowohl im Zähler als auch im Nenner immer eine Zahl > 0 stehen: ∆x darf nie = 0
sein! Das wiederum bedeutet: der Quotient sn wird niemals exakt = 1 sein (vgl. dazu auch Tabelle 04(2) im Vergleich zu Tabelle 04(1), wo man sieht, daß offenbar lediglich die Ungenauigkeit der Berechnung irgendwann den Wert sn = 1 ausgibt). - Und dennoch ist es pragmatisch richtig, daß der Quotient sn (‘schließlich’) = 1
ist.
z.B. für n=2 gilt: sin (1/100) / 1/100 = 0,0099998333 / 0,01 = 0,999983333417
Tabelle 04 (1) - 12 Stellen nach dem Komma
n
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∆x = 1/10n
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sin (1/10n)
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sn = (sin ∆x) / ∆x
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1
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0,100000000000
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0,099833416647
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0,998334166468
|
2
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0,010000000000
|
0,009999833334
|
0,999983333417
|
3
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0,001000000000
|
0,000999999833
|
0,999999833333
|
4
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0,000100000000
|
0,000100000000
|
0,999999998333
|
5
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0,000010000000
|
0,000010000000
|
0,999999999983
|
6
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0,000001000000
|
0,000001000000
|
1,000000000000
|
7
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0,000000100000
|
0,000000100000
|
1,000000000000
|
8
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0,000000010000
|
0,000000010000
|
1,000000000000
|
9
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0,000000001000
|
0,000000001000
|
1,000000000000
|
10
|
0,000000000100
|
0,000000000100
|
1,000000000000
|
Tabelle 04 (2) - 20 Stellen nach dem Komma
n
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∆x = 1/10n
|
sin (1/10n)
|
sn = (sin ∆x) / ∆x
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1
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0,10000000000000000000
|
0,09983341664682820000
|
0,99833416646828200000
|
2
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0,01000000000000000000
|
0,00999983333416667000
|
0,99998333341666700000
|
3
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0,00100000000000000000
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0,00099999983333334200
|
0,99999983333334200000
|
4
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0,00010000000000000000
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0,00009999999983333330
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0,99999999833333300000
|
5
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0,00001000000000000000
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0,00000999999999983333
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0,99999999998333300000
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6
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0,00000100000000000000
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0,00000099999999999983
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0,99999999999983300000
|
7
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0,00000010000000000000
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0,00000010000000000000
|
0,99999999999999800000
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8
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0,00000001000000000000
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0,00000001000000000000
|
1,00000000000000000000
|
9
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0,00000000100000000000
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0,00000000100000000000
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1,00000000000000000000
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10
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0,00000000010000000000
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0,00000000010000000000
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1,00000000000000000000
|
Folglich muss bei diesem Gesamt-Prozess
in einem Ausdruck der Form 1 – sn = Bn der Term Bn allmählich gleich 0 werden.
Und von welcher Seite man die Sache betrachtet, von der formell logischen oder von der
pragmatischen, jede Seite scheint ihr eigenes Recht zu haben. Doch haben sich die Mathematiker und Physiker natürlich mit gutem Grund auf die pragmatische Seite geschlagen und die
philosophische Seite der paradoxen Problematik weggedrängt. Vor allem die Epsilontik (des 19.
Jhdts. Cauchy, insbesondere Weierstraß) habe, weil sie die naive Idee ‚unendlich kleiner Größen’ überflüssig gemacht hätte, tatsächlich das Problem, das hinter der Idee dieser „Größen“ steckt,[1] beseitigt. Die glasklare Epsilontik hat jedoch meiner Ansicht nach das eigentliche philosophische
Problem lediglich der Wahrnehmung entzogen. Es scheint mir zweifelsfrei: auch Newton wusste sehr wohl, was im konkreten Fall ein Grenzwert ist
, wie Cauchy diesen 1821 allgemein definierte:
<Wenn sich die zu einer Variablen gehörenden, aufeinander folgenden Werte einem festen
Wert unbeschränkt in der Weise nähern, daß sie sich von diesem so wenig unterscheiden, wie man möchte, dann heißt dieser feste Wert Grenzwert des anderen.> [2]
Der Unterschied Newtons zu den späteren Mathematikern des 19.Jhdts. scheint mir eher darin zu
liegen, daß die letzteren sich nicht mehr in Fallstricke der „eigentlichen“ Bedeutung verfangen lassen wollten und deswegen einer Art szientistischer Reinlichkeit huldigten, die die Fragen des
„eigentlichen“ Verständnisses ad acta legt, während Newton noch so altmodisch war und sich mit dem Versuch einer Erklärung der ‚Momente’ eine Blöße gab, weil er sich einen geistigen Reim auf
die Sache machen wollte. Berkeley wird in seiner Schrift nicht müde auf dieser scheinbaren Schwäche Newtons herumzuhacken und ihre logische Absurdität aufzuzeigen - ohne jedoch selber
eigene Lösungsideen beizusteuern. Vielleicht waren es die produktiven Mathematiker müde, sich von gelehrten Laien derart vorführen zu lassen und unterließen seitdem alle spekulativen
Äußerungen, so dass ihren mathematischen Ausführungen seitdem, zu ihrem traditionellen Erklärungsgeiz, noch zusätzlich etwas formell-lebloses anhaftet.
04.2 Worin könnte eine Lösung des Problems liegen?
Ich möchte zunächst eine Analogie zu den imaginären Zahlen aufzeigen:
Vom Gesichtspunkt der Existenz allein der ‘reellen Zahlen’ (früherer Zeiten) [3] aus kann es keine Lösung der Gleichung x² = -1, oder x² = -4 o.ä. geben. Deswegen wurden „Wurzeln“ (Lösungen) etwa der Form als „imaginäre“ Wurzeln bezeichnet, sie erschienen als Zahlen logisch
unmöglich, denn jede „Zahl“ (im alten Sinne) kann nur entweder positiv oder negativ sein, und mit sich selbst multipliziert kann das Ergebnis jedenfalls nur positiv sein.
Auch hier mussten sich die Mathematiker durchringen, auf der Seite des Pragmatismus zu stehen, und beseitigten schließlich das logische Problem, indem sie behaupteten, die „reellen“ (also die
normalen) Zahlen, seien nur eine Teilmenge der „komplexen Zahlen“, welchletztere als weitere Teilmenge auch die imaginären „Zahlen“ beinhalten; die „Einheit“ der „imaginären Zahlen“ sei
Wurzel aus minus 1. Sie benannten diese kuriosen imaginären Gebilde einfach mit einem neuen Namen und zeigten mit Hilfe der Gaußschen Zahlenebene, daß hier eine wohltuende Ordnung (ein
neues ‘System’) waltet, und dass man mit diesen Gebilden mathematisch schlüssig umgehen kann, und sich viele mathematische Angelegenheiten dadurch klären lassen.[4] Eine weitere Diskussion
darüber, was diese Gebilde „eigentlich“ bedeuten, ist mir nicht bekannt.[5]
Analog denke ich mir, müsste die Paradoxie der Differentialrechnung sich im Rahmen eines „umfassenderen“ Gebildes aufheben lassen.
Ich vermute, die leitende Idee, die hinter dem problematischen philosophischen Erklärungsversuch
der `Momente´ Newtons steckt, ist die aus der Antike überlieferte Idee des Atomismus. Demnach
wird jede Realität, jede Ganzheit aus Teilen zusammengesetzt, und irgendwann, wenn man immer weiter die Stufenleiter der Zusammensetzungen hinuntergeht, gibt es letzte kleinste Teilchen, aus
denen sich alles zusammensetzt, die Atome. Und alles wird dadurch erklärbar! Doch verstrickt
man sich dann zwangsläufig in Paradoxien, vor denen man gerne die Augen verschließt, sofern einem jener Atomismus, als das einzig Plausible erscheint.
Professor Dahrendorf [Mitte] with Rodrigo Moyniham R.A. [rechts], July 1984. London School of Economics. - siehe Wikimedia
Eine solche Paradoxie ergibt sich beispielsweise bei der Betrachtung der gesellschaftlich
-menschlichen Realität. Einerseits denkt man sich quasi natürlicherweise die Gesellschaft als aus den Individuen zusammengesetzt und darum allein aus ihnen erklärbar. Andererseits ist aber leicht
zu zeigen, wovor die Meisten aber die Augen verschließen, dass die Individuen hauptsächlich ‘Produkte’ ihrer Kultur, ihrer Zeit, der sprachlichen, der organisatorischen und technischen
Entwicklung, ihrer Familien-Sozialisation, der Institutionen,[6] der Traditionen und
Modeströmungen, kurz: also ihrer Gesellschaft sind. Andererseits kann „die Gesellschaft“ nur durch die Individuen hindurch existieren, ohne diese Individuen und ihre unhintergehbaren
allzumenschlichen Eigenschaften (beispielsweise ihre Gefühls- und Anerkennungs-Bedürfnisse) wäre sie in der Tat nicht existent. Man sieht, es muss irgendeine höhere Form der Erklärung her,
die beides miteinander vereint. Heutzutage versucht man, nicht nur in der Gesellschaftstheorie, mit Hilfe der Leitidee ‘Systemtheorie’
[7] die Dialektik vom „Ganzen“ und seinen „Teilen“ anzugehen. [Siehe ‘Neuerlicher Hinweis (2017)’ am Ende dieses Absatzes]. Dahrendorf
, der das soziologische Konzept der „Rolle“ für den deutschen Sprachraum publik machte, stößt in der Soziologie explizit auf die von mir benannte typische Paradoxie des Atomismus. Er nennt sie „das
Paradox vom doppelten Menschen“.[8] Und zwar ist dies für ihn das Problem, wie er wissenschaftlich den „homo sociologicus“ [Kindle Edition, 7€] (den rollenbestimmten Menschen)
mit dem „selbstverantwortlichen, freien Einzelnen“ [9] unter einen Hut bekommen kann. Mir ist
außer vielen interessanten Details bezüglich dieser Thematik nicht aufgefallen, daß ihm eine Problemlösung (im wissenschaftlichen Sinne) gelungen ist.[10] Seine Annahme ist wohl, dafür
gäbe es keine eigentlich wissenschaftliche Lösung. Somit folgt, daß man in der Rolle als Sozial-Wissenschaftler gezwungen ist, den homo sociologicus zu betrachten und Dahrendorfs Schlussfolgerung ist die: „Wer die Melancholie der Unzulänglichkeit einer soziologischen
Wissenschaft vom Menschen nicht zu ertragen vermag, sollte dieser Disziplin den Rücken kehren [...]“ [11] Es bleibt Dahrendorf also offenbar nichts anderes übrig, als sich
pragmatisch gegenüber dem „Paradox vom doppelten“ Menschen [12] zu verhalten.
Neuerlicher Hinweis (2017): In den letzten Jahren hat der Begriff der Emergenz
(engl. to emerge: hervorkommen, entstehen, auftreten, auftauchen, erscheinen, empordringen, sich entwickeln, sich ergeben, sich herauskristallisieren, zum Vorschein kommen) eine offenbar
prominente Position in der neueren Systemtheorie erlangt, wodurch die hier von mir dargelegten Ansichten eine wesentliche Bestärkung erfahren. Siehe dazu: Günter Dedié
: Die Kraft der Naturgesetze: Emergenz und kollektive Fähigkeiten von den Elementarteilchen bis zur menschlichen Gesellschaft (2014) - Kindle Edition 10€).
Bevor ich dieses Konzept der Dialektik von Ganzheit und seiner konstituierenden Teile nun für die
Differentialrechnung an allerlei Beispielen belegen werde, möchte ich noch kurz auf das intuitive Sträuben, das man gegen solcherlei `teleologische´ Sichtweise hegt, eingehen. Die
Atomismusvorstellung legt es nahe, sich alles `Ganze´ lediglich aus der mehr oder minder zufälligen
Konfiguration der Teile, der ‘Elemente’, der ‘Elemantarteilchen’, zu erklären. Ein vorbestimmter
Bauplan ist etwas, was sich „letztlich“ irgendwie „materiell“ erklären lassen muss, z.B. durch
irgendeine hochkomplexe Zufallszusammenballung von vielerlei zufälligen Ereignissen, wie es etwa das Leben im Sinne der Darwinschen Vorstellung von Evolution darstellt. Meine Sichtweise plädiert
nicht unbedingt gegen diese Vorstellung, sieht sie jedoch lediglich als einen Teilaspekt eines Systemkonzepts an. Es bleibt uns meines Ermessens nichts anderes übrig, als uns von diesem einseitigen Atomismuskonzept zu lösen und stattdessen ein anderes Konzept an seine Stelle zu
setzen, eben das Konzept vom gegenseitigen Zusammenwirken eines jedweden Ganzen mit seinen Teilen, die selber wieder „Ganze“ auf einer anderen Ebene oder Stufe sind.[13] Nicht zuletzt die
Paradoxie der Differentialrechnung, sobald man sie ernst nimmt, statt sie wegzudrängen, scheint mir dieses Konzept zu erzwingen. Jedes Neue, jedes „Ding“ kommt nur als Ganzes zur Welt und
seine Einzelteile sind ihm gemäß organisiert - soweit die Eigenschaften der Einzelteile, die selber wieder Ganze sind, dies zulassen. So hangelt sich auch das biologische Leben von einfachen
Ganzheiten zu komplexeren Ganzheiten im Laufe der Entwicklung. Sicher spielt da auch der Zufall eine gehörige Rolle. Nur soweit sich das (vorgegebene) einzelne Ganze mit anderem Einzelnen zur
neuen Ganzheit organisieren kann, entsteht `Etwas´.
(Fortsetzung 05 - Zenon)
[1] „Die Schwierigkeit der Analysis...“ [lt. Hischer/Scheid, S. 114 (Anfang des Kapitels
„Folgengrenzwert“) eine Formulierung von Papy, G.: Topologie als Grundlage des Analysisunterrichts, Göttingen 1970.]
[2] zitiert nach Hischer/Scheid, S.113
[3] Also sozusagen der „normalen“ Zahlen.
[4] Beispielsweise die Lösungen aller möglichen Gleichungen.
[5] Wenn ich mich nicht täusche, steht die philosophische Klärung der meines Ermessens
interessanten Frage, was diese komplexen Zahlen eigentlich bedeuten könnten, noch aus.
[6] vgl. das instruktive Bändchen von Dahrendorf: Homo Sociologicus.
[7] Teilweise wurde in Deutschland das Thema jahrzehntelang von genialischer Scharlatanerie eines
universitären Großmeisters der Soziologie okkupiert.
[8] Dahrendorf, S. 68 ff.
[9] Dahrendorf, S. 71
[10] die meines Ermessens bei der Anwendung des Atomismuskonzepts („der selbstverantwortliche
, freie Einzelne“) schwerlich möglich ist. Hier gibt es lediglich einen paradoxen Dualismus.
[11] Dahrendorf, S. 73
[12] Dahrendorfs Formulierung.
[13] Vgl. dazu auch vom Standpunkt der modernen Atomphysik bzw. Quantenphysik: Fritjof Capra: Das Tao der Physik
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